MAKALAH Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah Swt, yang senantiasa melimpahkan Taufik dan Hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan Seminar Pendidikan Matematika yang sangat sederhana ini. Kemudian shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad Saw dan para sahabatnya sekalian.

Dalam rangka menyelesaikan tugas mata kuliah Seminar Pendidikan Matematika berkewajiban menyusun sebuah proposal sebagai salah satu tugas studi untuk dapat menyelesaikan mata kuliah ini.

Kami menyadari sepenuhnya bahwa proposal ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh sebab itu, kami mengharap kritik dan saran yang sifatnya membangun untuk kesempurnaan tugas proposal ini. Semoga kerja keras kami selama ini dapat bermanfaat dan membantu semua pihak dalam mempelajari mata kuliah ini, serta mendapatkan ridho Allah Swt. Amin....

	i

DAFTAR ISI

Kata Pengantar...................................................................................................................   i

Daftar Isi.............................................................................................................................   ii

BAB I    PENDAHULUAN................................................................................................   1

A.     Latar Belakang ................................................................................................   1

B.     Rumusan Masalah............................................................................................   2

C.     Tujuan Pembahasan..........................................................................................   2

D.     Pembatasan Masalah........................................................................................   2

BAB II  PEMBAHASAN...................................................................................................   3

A.     Bentuk-bentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.....................................   3

B.     Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

dengan menggunakan Metode Reduksi.............................................................   6

BAB III   PENUTUP..........................................................................................................   9

A.     Kesimpulan .....................................................................................................   9

B.     Saran...............................................................................................................   9

BAB IV   DAFTAR PUSTAKA......................................................................................... 10

	ii

BAB I

PENDAHULUAN

A.     Latar Belakang

Matematika banyak memegang peran penting dalam pemecahan masalah disetiap bidang kehidupan. Kemampuannya menerjemahkan berbagai fenomena kehidupan dalam bahasa matematika sebagai ilmu dasar yang harus dikuasai oleh setiap orang.

Banyak masalah dalam kehidupan kita sehari-hari dapat dinyatakan dalam sistem persamaan. Misalnya jika seorang pengusaha telah mengetahui harga keseluruhan bahan baku maka ia akan mampu menghitung harga satuan bahan baku tersebut. Sebelum menyelesaikan suatu permasalahan, terlebih dahulu permasalahan tersebut diubah menjadi model matematika yang memuat sistem persamaan linear.

Dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)dapat ditentukan dengan 4 cara yaitu :

1. Metode Subtitusi
2. Metode Eliminasi
3. Metode Grafik
4. Metode Reduksi

Keempat metode diatas merupakan cara menyelesaikan SPLDV. Dengan demikian, kami ingin membahas salah satu dari metode-metode diatas yaitu metode reduksi. Dengan metode reduksi, kita dapat menentukan salah satu koefisien variabelnya sama dengan nol sehingga lebih mudah dan cepat dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan diatas maka kami merasa tertarik untuk mengkaji lebih lanjut tentang “Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan menggunakan metode reduksi”

	1

 

B.     Rumusan Masalah

Adapun yang menjadi rumusan masalah pada pembahasan ini adalah :

Bagaimana cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel  (SPLDV) dengan menggunakan metode reduksi?

C.     Tujuan Pembahasan

Adapun yang menjadi tujuan pembahasan ini adalah :

Untuk mengetahui cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) dengan menggunakan metode reduksi.

D.    Pembatasan Masalah

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear dan setiap persamaan mempunyai dua variabel. Metode reduksi adalah mengurangakn kedua persamaan sampai diperoleh salah satu koefisien variabelnya sama dengan nol sehingga variabel tersebut hilang.

	2

BAB II

PEMBAHASAN

A.           Bentuk-bentuk Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1.Perbedaan Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) dan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV )

a.       Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV)

Persamaan adalah kalimat terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan” (=). Persamaan Linear adalah persamaan garis lurus. Persamaan Linear Dua Variabel adalah persamaan yang memiliki dua variabel dan pangkat masing-masing variabelnya satu.

ax+by = c

Bentuk umum :

Dimana :

a dan b = koefisien

c adalah konstanta

x dan y adalah variabel

a,b dan c adalah bilangan real

Contoh :

Persamaan linier satu variabel

y=5

x=7

x + y = 4         Persamaan linier dua variable

b.      Sistem Persaman Linear Dua Variabel (SPLDV)

3

Sistem persamaan adalah dua atau lebih persamaan yang disajikan secara bersamaan. Jika persamaan-persamaan yang menyusun sistem persamaan adalah persamaan linear ax + by = c dengan a,b,c, R dan a,b bersama-sama tidak boleh sama dengan nol disebut Sistem Persaman Linear. Sistem Persaman linear Dua Variabel adalah suatu sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan linear dan setiap persamaan mempunyai dua variabel. Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel merupakan pasangan terurut bilangan yang memenuhi semua persamaan dalam sistem tersebut.

Bentuk Umum:

x + y =

x + y =

 

                  dengan , , , , ,  adalah bilangan real

     Misalnya:

        x + 2y = 3                                                            3x -2y = 6

                                      

Jelas terlihat perbedaan antara persamaan linear dua variabel, yaitu pada PLDV hanya terdapat sebuah persamaan linear dua variabel, sedangkan SPLDV memiliki dua atau lebih persamaan linear dua variabel yang merupakan satu kesatuan. Menyatakan suatu variabel dengan variabel lain pada persamaan linear

Contoh :

Diketahui persamaan x+y = 5, jika variabel x dinyatakan dalam variabel y menjadi :

x + y = 5

x = 5 – y

2. Mengenal variabel dan koefisien pada SPLDV

Contoh :

Diketahui  SPLDV: 2x + 4y = 12 dan 3x -  y = 5

a.       Variabel SPLDV adalah x dan y

b.      Konstanta SPLDV adalah 12 dan 5

c.       Koefisien x dari SPLDV adalah 2 dan 3

d.      Koefisien y dari SPLDV adalah 4 dan –1

3. 4

   Akar dan Bukan akar SPLDV

Dalam sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) terdapat pengganti-pengganti dari variabel sehingga kedua persamaan menjadi benar. Pengganti-pengganti variabel yang demikian disebut penyelesaian atau akar dari sistem persaman linier dua variabel. Apabila pasangan pengganti menyebabkan salah satu atau kedua persamaan menjadi kalimat tidak benar disebut bukan penyelesaian atau bukan akar dari SPLDV tersebut.

Contoh :

Diketahui SPLDV: 2x – y = 3 dan x + y = 3

Tunjukan bahwa x = 2 dan y = 1 merupakan akar dari SPLDV tersebut.

Jawab :

2x – y = 3

Jika x=2 dan y = 1 disubstitusikan pada persamaan diperoleh

2x – y = 3

2(2) – 1 = 3

3 = 3 (benar)

x + y = 3

Jika x = 2 dan y = 1 disubstitusikan pada persamaan diperoleh

x + y = 3

2 + 1 = 3

3 = 3 (benar)

Jadi, x = 2 dan y = 1 merupakan akar dari SPLDV 2x –y = 3 dan x + y = 3

	5

 

B.            Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dengan menggunakan Metode Reduksi

5

Reduksi berarti pengurangan. Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode reduksi adalah dengan mengurangkan persamaan yang satu dengan yang lain. Tujuannya adalah agar pada hasil pengurangan, salah satu koefisien variabelnya sama dengan nol sehingga variabel itu hilang. Apabila pada tahap pengurangan pertama ternyata koefisien pada salah satu variabelnya belum sama dengan nol, maka pengurangan dilanjutkan sampai salah satu variabel hilang, sehingga variabel yang tidak hilang dapat ditentukan nilainya. Selanjutnya untuk menentukan variabel yang lain dilakukan dengan cara mensubstitusikan  nilai variabel  yang telah diperoleh pada salah satu persamaan yang diketahui.

Dalam pengurangan dua bentuk aljabar, hasil salah satu variabelnya sama dengan nol apabila koefisien variabelnya sama atau angka dan tandanya sama (positif dengan positif atau negatif dengan negatif ). Jadi, variabel yang dapat dihilangkan adalah salah satu variabel dari sistem persamaan itu yang koefisien variabelnya mempunyai tanda yang sama. Apabila hasil pengurangan memiliki koefisien variabel yang akan dihilangkan berlawanan tandanya (berbeda), maka hasil pengurangan itu dikalikan dengan lawan dari koefisien variabel hasil pengurangan tersebut sehingga tandanya menjadi sama.

Contoh :

1.      Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan 2x+3y =12 dan x+2y =7 dengan metode reduksi

2x + 3y    = 12 2x + 3(2) = 12        2x+6 = 12            2x =12-6            2x = 6              x = 6                    2              x = 3

Jawab :

2x+3y = 12

  x+2y =   7

  x+ y  =   5

  x+2y =   7

  x+  y =   5

6

        y  =   2

Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan 2x + 3y  = 12 dan x + 2y = 7 adalah x =  3 dan y = 2

2.      Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan 4x = 6y + 32 dan x – 3y  = 14 dengan  metode reduksi

Jawab :

4x = 6y + 32                4x – 6y  = 32

x - 3y  = 14 2 – 3y = 14    - 3y  = 14-2     -3y  = 12        y = 12               -3         y = -4

4x-6y = 32

  x-3y = 14

3x-3 y = 18

  x-3y = 14

3x-3y = 18

    -2x  = -4

       x  = -4

              -2

       x  = 2

Jadi, Penyelesaian dari sistem persamaan 4x = 6y + 32 dan x – 3y = 14 adalah x = 2 dan y = -4

3.      Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + 3y – 4 = 0 dan 4x – 2y – 24 = 0

Jawab :

2x + 3y – 4 = 0                        4x – 2y – 24 = 0

2x + 3y = 4                              4x – 2y = 24

2x + 3y  =   4

Dikalikan dengan -1, agar tanda koefisien x sama

4x – 2y  =  24  _

                               -2x +  5y = -20

2x – 5y  =  20

4x – 2y  =  24

                                2x - 5y  =   20 _

2x + 3y  =    4

                                    2x - 5y  =  20

2x + 3y =    4   _

       -8y =  16

          y =  16

                  -8

7

          y =  -2

7

2x + 3y  = 4

2x + 3 (-2) = 4

 2x – 6 = 4

2x = 4 + 6

2x = 10

  x = 10

         2

  x = 5

Jadi, penyelesaian dari sistem persaman 2x + 3y – 4 = 0 dan 4x – 2y – 24 = 0 adalah x = 5 dan y = -2

	8

 

BAB III

PENUTUP

A.     Kesimpulan

Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode reduksi adalah dengan mengurangkan kedua persamaan sampai diperoleh salah satu koefisien variabelnya sama dengan nol maka variabel tersebut hilang. Sehingga lebih mudah dan cepat dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV). 

B.     Saran

Hendaknya menjadi bahan masukan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel.

	9

DAFTAR PUSTAKA

Cholik A,M,dkk.2004.Matematika Untuk SMP Kelas VII. Jakarta : Erlangga.

Cunayah Cucun, dkk. 2009.Pelajaran Matematika Bilingual Untuk SMP/MTs Kelas VIII. Bandung: Yrama Widya

http://rokyatihandayani.files.wordpress.com

Untoro Joko, Drs.Rumus Lengkap Matematika SMP, Jakarta Selatan : Wahyu Media.