STATISTIKA PROBABILITAS
Pendahuluan
Mata kuliah statistika bagi mahasiswa sangat diperlukan terutama ketika seorang mahasiswa harus mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan menginterprestasikan data untuk pembuatan skripsi, thesis atau disertasi. Dalam hal ini pengetahuan statistik dipakai dalam menyusun metodologi penelitian.
Sebagai suatu ilmu, kedudukan statistika merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika terapan. Oleh karena itu untuk memahami statistika pada tingkat yang tinggi, terebih dahulu diperlukan pemahaman ilmu matematika.
Dinegara maju seperti Amerika, Eropa dan Jepang, ilmu statistika berkembang dengan pesat sejalan dengan berkembangnya ilmu ekonomi dan teknik. Bahkan kemajuan suatu negara sangat ditentukan oleh sejauh mana negara itu menerapkan ilmu statistika dalam memecahkan masalah-masalah pembangunan dan perencanaan pemerintahannya. Jepang sebagai salah satu negara maju, konon telah berhasil memadukan ilmu statistika dengan ilmu ekonomi, desain produk, psikologi dan sosiologi masyarakat.
Sejauh itu ilmu statistika digunakan pula untuk memprediksi dan menganalisis perilaku konsumen, sehingga Jepang mampu menguasai perekonomian dunia sampai saat ini.
Statistik dan Statistika
Statistik adalah kumpulan data dalam bentuk angka maupun bukan angka yang disusun dalam bentuk tabel (daftar) dan atau diagram yang menggambarkan atau berkaitan dengan suatu masalah tertentu.
Contoh :
Statistik penduduk adalah kumpulan angka-angka yang berkaitan dengan masalah penduduk.Statistik ekonomi adalah kumpulan angka-angka yang berkaitan dengan masalah ekonomi.
Statistika adalah pengetahuan yang berkaitan dengan metode, teknik atau cara mengumpulkan, mengolah, menganalisis dan menginterprestasikan data untuk disajikan secara lengkap dalam bentuk yang mudah dipahami penggunanya.
1. PENGERTIAN MEDIAN
Median adalah suatu ukuran pemusatan yang menempati posisi tengah jika data diurutkan menurut besarnya. Posisi tengah dari seperangkat data sebanyak N yang telah terurut terletak pada posisi yang ke (N + 1) 2. Jika N gasal, maka ada data yang berada pada posisi tengah dan nilai data itu merupakan nilai median. Jika N genap, maka sebagai mediannya diambil rata-rata hitung dua data yang ada di tengah. Sehingga median adalah nilai tengah (jika banyaknya data gasal) atau rata-rata hitung dua nilai tengah (jika banyaknya data genap) dari seperangkat data yang terurut.
Median merupakan nilai yang berada di tengah atau rata-rata dari dua nilai yang berada di tengah (jika data jumlah genap), setelah data tersebut diurutkan mulai dari yang terkecil sampai deng
an yang terbesar. Atau, median adalah nilai tengah suatu kelompok data dimana data itu terbagi dua.
Median adalah nilai yang terletak di tengah dari data yang terurut. Jika banyak data ganjil, median adalah nilai paling tengah dari data yang sudah diurutkan. Jika banyak data genap, median adalah mean dari dua bilangan yang di tengah setelah data diurutkan.
Median adalah nilai tengah setelah data terurut naik. Pengeritan lain adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan menurut besarnya. Dengan ketentuan: Jika banyak data ganjil, maka median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan.
Median adalah nilai tengah setelah data terurut naik. Pengeritan lain adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan menurut besarnya. Dengan ketentuan: Jika banyak data ganjil, maka median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan.
Untuk mencari nilai median pada data berkelompok dengan langkah sebagai berikut :
· Menentukan letak mendian dengan rumus n / 2
· Mencari nilai frekuensi komulatif kurang dari masing-masing kelas
· Nilai median dicari dengan rumus : Md = CB b + CI (j / Fr m)
CB b = Class boundari bawah dari kelas yang mengandung median
CI = Class Interval
j = Selisih antara letak median dengan frekuensi komulatif pada kelas sebelum kelas yang mengandung median
Fr m = Frekuensi pada kelas yang mengandung median
Contohnya :
Tabel : Persediaan Beras (dalam kg) dari 50 Pedagang di kota “X’ tanggal 31 Desember
Persediaan Beras
|
Jumlah Pedagang (Fr)
|
Fr Komulatif
|
90 – 99
|
2
|
2
|
100 – 109
|
20
|
22
|
110 – 119
|
13
|
35
|
120 – 129
|
7
|
42
|
130 – 139
|
6
|
48
|
140 – 149
|
2
|
50
|
Jumlah
|
50
|
Letak median adalah n / 2 = 50 / 2 = 25, yaitu terkandung pada kelas III (terkandung dalam frekuensi komulatif : 35).
Class boundary bawah kelas III = 109,5 ;
Class boundary bawah kelas III = 109,5 ;
Class Interval = 10 ;
Nilai j = 25 – 22 = 3 ;
Nilai Fr m = 13
Nilai median : Md = CB b + CI (j / Fr m) = 109,5 + 10 (3 / 13) = 111,81 kg.
Nilai median : Md = CB b + CI (j / Fr m) = 109,5 + 10 (3 / 13) = 111,81 kg.
Jadi persediaan beras dari 50 pedagang di kota “X” nilai tengah atau mediannya sebesar 111,81 kg.
2. PENGERTIAN MODUS
Modus adalah nilai yang paling sering muncul dari serangkaian data. Serangkaian data mungkin memiliki dua modus (Bimodal) atau lebih dari dua (Multimodal). Munculnya data yang bimodal kadang-kadang disebabkan oleh penggabungan dua distribusi yang berbeda, misalnya gabungan dari dua ukuran sepatu untuk anak-anak dan dewasa yang dijual oleh sebuah toico. Ukuran yang terjual untuk anak-anak adalah 30 sampai dengan 36, sementara ukuran untuk dewasa 40 sampai dengan 42. Bila kedua ukuran sepatu yang terjual digabung, maka diperoleh data 30 32 34 34 34 40 40 41 41 41 41 42 42. Jadi rangkaian data itu mempunyai dua modus yaitu 34 dan 41. Bila data-data tadi dipisahkan kembali, maka ukuran sepatu anak-anak yang terjual mempunyai modus 34 dan ukuran sepatu dewasa mempunyai modus 41.
Modus (mode) dari sejumlah pengamatan adalah nilai X yang paling banyak tampil. Oleh karena itu, dalam sekelompok data mungkin saja tidak memiliki modus. Modus merupakan suatu pengamatan dalam distribusi frekuensi yang memiliki jumlah pengamatan dimana jumlah frekuensinya paling besar atau paling banyak. Untuk mencari nilai modus pada data berkelompok dengan menggunakan langkah sebagai berikut :
Menentukan letak modus, yaitu dilihat pada frekuensi terbesar atau jika frekuensi terbesar lebih dari satu dapat dipilih salah satu. Jika mengamati gambar polygon atau kurva letak modus adalah pada puncak gambar polygon atau kurva. Menentukan nilai modus dengan rumus : Mo = CB b + CI [( D1 ) / ( D1 + D2 )]
Keterangan : D1 : Selisih frekuensi yang terdapat letak modus dengan frekuensi sebelum letak modus. D2 : Selisih frekuensi yang terdapat letak modus dengan frekuensi setelah letak modus.
Modus terbagi kepada 2 macam, yaitu :
a. Modus untuk Ungrouped Data
Contoh : Sumbangan PMI warga Depok
Rp. 7500 8000 9000 8000 3000 5000 8000
Modus : Rp. 8000
Bisa terjadi data dengan beberapa modus (multi-modus)
Bisa terjadi data tanpa modus
b. Modus untuk Grouped Data
Kelas Modus : Kelas di mana Modus berada
Kelas dengan frekuensi tertinggi
Modus = TBB Kelas Modus + i
 |
di mana :
TBB : Tepi Batas Bawah
d1 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sebelumnya
d2 : Beda Frekuensi Kelas Modus dengan Frekuensi Kelas sesudahnya
i : interval kelas
Kelas
|
Frekuensi (fi)
|
16-23
|
10
|
   24-31 |
17
|
32-39
|
7
|
40-47
|
10
|
48-55
|
3
|
56-63
|
3
|
Jumlah ()
|
50
|
Kelas Modus = 24 - 31
TBB Kelas Modus = 23.5
i = 8
frek. kelas Modus = 17
frek, kelas sebelum kelas Modus = 10
frek. kelas sesudah kelas Modus = 7
d1 = 17 - 10 = 7
d2 = 17 - 7 = 10
Modus = 23.5 + 8 
= 23.5 + 8 
=
= 23.5 + 8 =
23.5 + 8 (0.41176...) = 23.5 + 3.2941...=
26.7941... » 27
Contoh : Tabel : Persediaan Beras (dalam kg) dari 50 Pedagang di kota “X’
Persediaan Beras
|
Jumlah Pedagang (Fr)
|
90 – 99
|
2
|
100 – 109
|
20
|
110 – 119
|
13
|
120 – 129
|
7
|
130 – 139
|
6
|
140 – 149
|
2
|
Jumlah
|
50
|
Letak modus berada di kelas II, yaitu frekuensi terbesar bernilai 20. Nilai Modus adalah : Mo = 99,5 + 10 [(20 – 2) / ((20 – 2) + (20 – 13))] = 106,7. Jadi kebanyakan persediaan beras dari 50 pedagang (modusnya) adalah sebanyak 106,7 kg.
3. KUARTIL, DESIL DAN PERSENTIL
A. Kuartil
Kuartil adalah nilai ukuran yang membagi data yang sudah terurut menjadi empat bagian yang sama. Contoh suatu data terurut seperti berikut.
Data yang terdapat pada batas pengelompokan pertama disebut kuartil bawah (Q1), batas pengelompokan kedua disebut kuartil tengah (Q2), dan batas pengelompokan ketiga disebut kuartil atas (Q3).
1 1 2 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8
Data yang terdapat pada batas pengelompokan pertama disebut kuartil bawah (Q1) , batas pengelompokan kedua disebut kuartil tengah (Q2), dan batas pengelompokan ketiga disebut kuartil atas (Q3).
Untuk menentukan nilai-nilai kuartil, kita tentukan nilai kuartil tengah (Q2) terlebih dahulu. Nilai Q2 adalah median dari data tersebut. Selanjutnya, seluruh data yang berada di sebelah kiri Q2, digunakan untuk mencari Q1. Nilai Q1 adalah median dari data sebelah kiri Q2, sedangkan Q3 adalah median dari seluruh data di sebelah kanan Q2 Selain dengan cara di atas, nilai kuartil dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut.
Data yang terdapat pada batas pengelompokan pertama disebut kuartil bawah (Q1), batas pengelompokan kedua disebut kuartil tengah (Q2), dan batas pengelompokan ketiga disebut kuartil atas (Q3).
1 1 2 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8
Data yang terdapat pada batas pengelompokan pertama disebut kuartil bawah (Q1) , batas pengelompokan kedua disebut kuartil tengah (Q2), dan batas pengelompokan ketiga disebut kuartil atas (Q3).
Untuk menentukan nilai-nilai kuartil, kita tentukan nilai kuartil tengah (Q2) terlebih dahulu. Nilai Q2 adalah median dari data tersebut. Selanjutnya, seluruh data yang berada di sebelah kiri Q2, digunakan untuk mencari Q1. Nilai Q1 adalah median dari data sebelah kiri Q2, sedangkan Q3 adalah median dari seluruh data di sebelah kanan Q2 Selain dengan cara di atas, nilai kuartil dapat ditentukan dengan menggunakan rumus berikut.
Q1 = data ke – i ( n + 1 )
4
i = 1, 2, 3
n = Banyak data
4
i = 1, 2, 3
n = Banyak data
Kuartil ® Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 4 bagian yang sama besar
Letak Kuartil ke-1 = 
Letak Kuartil ke-2 = 
= 
® Letak Median
= ® Letak Median
Letak Kuartil ke-3 = 
n : banyak data
n : banyak data
Kelas Kuartil ke-q : Kelas di mana Kuartil ke-q berada
Kelas Kuartil ke-q didapatkan dengan membandingkan Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif
Kuartil ke-q = TBB Kelas Kuartil ke-q + i 
atau
Kuartil ke-q = TBA Kelas Kuartil ke-q - i 
q : 1,2 dan 3
di mana : TBB : Tepi Batas Bawah
s : selisih antara Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif
sebelum kelas Kuartil ke-q
TBA : Tepi Batas Atas
s’ : selisih antara Letak Kuartil ke-q dengan Frekuensi Kumulatif
sampai kelas Kuartil ke-q
i : interval kelas
f Q : Frekuensi kelas Kuartil ke-q
Contoh 4 : Tentukan Kuartil ke-3
Kelas
|
Frekuensi
|
Frek. Kumulatif
|
16 - 23
|
10
|
10
|
24 - 31
|
17
|
27
|
 32 - 39 |
7
|
34
|
 40 - 47 |
10
|
44
|
48 - 55
|
3
|
47
|
56 - 63
|
3
|
50
|
S
|
50
|
----
|
Kelas Kuartil ke-3
interval = i = 8
Letak Kuartil ke-3 = 
= 
= 37.5
= = 37.5
Kuartil ke-3 = Data ke-37.5 terletak di kelas 40 - 47
Kelas Kuartil ke-3 = 40 - 47
TBB Kelas Kuartil ke-3 = 39.5 dan TBA Kelas Kuartil ke-3 = 47.5
f Q = 10
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Kuartil ke-3 = 34 ® s = 37.5 - 34 = 3.5
Frek. Kumulatif sampai Kelas Kuartil ke-3 = 44 ® s’ = 44 - 37.5 = 6.5
Kuartil ke-3 = TBB Kelas Kuartil ke-3 + i
= 39.5 + 8
= 39.5 + 8 (0.35)
= 39.5 + 8 (0.35)
= 39.5 + 2.8 = 42.3
Kuartil ke-3 = TBA Kelas Kuartil ke-3 - i
= 47.5 - 8
= 47.5 - 8 ( 0.65)
= 47.5 - 8 ( 0.65)
= 47.5 - 5.2 = 42.3
B. DESIL
Desil ® Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 10 bagian yang sama besar
Letak Desil ke-1 = 
Letak Desil ke-5 = 
= ® Letak Median
= ® Letak Median
Letak Desil ke-9 = 
n : banyak data
n : banyak data
Kelas Desil ke-d : Kelas di mana Desil ke-d berada
Kelas Desil ke-d didapatkan dengan membandingkan Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif
Desil ke-d = TBB Kelas Desil ke-d + i 
atau
Desil ke-d = TBA Kelas Desil ke-q - i 
d : 1,2,3...9
di mana : TBB : Tepi Batas Bawah
s : selisih antara Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif
sebelum kelas Desil ke-d
TBA : Tepi Batas Atas
s’ : selisih antara Letak Desil ke-d dengan Frekuensi Kumulatif
sampai kelas Desil ke-d
i : interval kelas
f D : Frekuensi kelas Desil ke-d
Contoh 5: Tentukan Desil ke-9
Kelas
|
Frekuensi
|
Frek. Kumulatif
|
16 - 23
|
10
|
10
|
24 - 31
|
17
|
27
|
32 - 39
|
7
|
34
|
 40 - 47 |
10
|
44
|
 48 - 55 |
3
|
47
|
56 - 63
|
3
|
50
|
S
|
50
|
----
|
Kelas Desil ke-9
interval = i = 8
Letak Desil ke-9 = = 
= 45
= = 45
Desil ke-9 = Data ke-45 terletak di kelas 48 - 55
\Kelas Desil ke-9 = 48 - 55
TBB Kelas Desil ke-9 = 47.5 dan TBA Kelas Desil ke-9 = 55.5
f D = 3
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Desil ke-9 = 44 ® s = 45 - 44 = 1
Frek. Kumulatif sampai Kelas Desil ke-9 = 47 ® s’ = 47 - 45 = 2
Desil ke-9 = TBB Kelas Desil ke-9 + i
= 47.5 + 8
= 47.5 + 8 (0.333...)
= 47.5 + 8 (0.333...)
= 47.5 + 2.66... = 50.166...
Desil ke-9 = TBA Kelas Desil ke-9 - i
= 55.5 - 8
= 47.5 - 8 ( 0.666...)
= 47.5 - 8 ( 0.666...)
= 55.5 -5.33... = 50.166...
4. PERSENTIL
Persentil ® Nilai yang membagi gugus data yang telah tersortir (ascending)
menjadi 100 bagian yang sama besar
Letak Persentil ke-1 = 
Letak Persentil ke-50 = 
= ® Letak Median
= ® Letak Median
Letak Persentil ke-99 = 
n : banyak data
n : banyak data
Kelas Persentil ke-p : Kelas di mana Persentil ke-p berada
Kelas Persentil ke-p didapatkan dengan membandingkan Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi Kumulatif
Persentil ke-p = TBB Kelas Persentil ke-p + i 
atau
Persentil ke-p = TBA Kelas Persentil ke-p - i 
p : 1,2,3...99
di mana : TBB : Tepi Batas Bawah
s : selisih antara Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi
Kumulatif sebelum kelas Persentil ke-p
TBA : Tepi Batas Atas
s’ : selisih antara Letak Persentil ke-p dengan Frekuensi
Kumulatif sampai kelas Persentil ke-p
i : interval kelas
f P : Frekuensi kelas Persentil ke-p
Contoh 6: Tentukan Persentil ke-56
Kelas
|
Frekuensi
|
Frek. Kumulatif
|
16 - 23
|
10
|
10
|
 24 - 31 |
17
|
27
|
 32 - 39 |
7
|
34
|
40 - 47
|
10
|
44
|
48 - 55
|
3
|
47
|
56 - 63
|
3
|
50
|
S
|
50
|
----
|
Kelas Persentil ke-56
interval = i = 8
Letak Persentil ke-56 = 
= 
= 28
= = 28
Persentil ke-56 = Data ke-28 terletak di kelas 32 - 39
\Kelas Persentil ke-56 = 32 - 39
TBB Kelas Persentil ke-56 = 31.5 dan TBA Kelas Persentil ke-56 = 39.5
f P = 7
Frek. Kumulatif sebelum Kelas Persentil ke-56 = 27 ® s = 28 - 27 = 1
Frek. Kumulatif sampai Kelas Persentil ke-56 = 34 ® s’ = 34 - 28 = 6
Persentil ke-26 = TBB Kelas Persentil ke-56 + i
= 31.5 + 8
= 31.5 + 8 (0.142...)
= 31.5 + 8 (0.142...)
= 31.5 + 1.142.. = 32.642...
Persentil ke-26 = TBA Kelas Persentil ke-56 - i
= 39.5 - 8
= 39.5 - 8 (0.857...)
= 39.5 - 8 (0.857...)
= 39.5 - 6.857... = 32.642...
No comments:
Post a Comment